Bentuk dan Pengertian Aljabar

Aljabar merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang ditemukan oleh Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi. Nama aljabar sendiri diambil dari bahasa arab "al-jabr" yang memiliki arti hubungan atau penyelesaian. Aljabar dapat didefinisikan sebagai suatu cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atau prinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan simbol atau huruf tertentu. Sebagai contoh, di dalam aljabar biasa digunakan huruf/simbol x yang mewakili nilai dari suatu bilangan yang ingin dicari. Konsep Aljabar biasa digunakan oleh para matematikawan di dalam proses pencarian pola dari suatu bilangan.

Definisi atau Pengertian Aljabar Matematika Lengkap

Sejarah Singkat Aljabar

Menurut catatan sejarah yang ada, penggunaan aljabar sudah dikenal sejak ribuan tahun yang lalu. Aljabar telah dipergunakan oleh matematikawan pada sekitar 3500 tahun yang lalu pada peradaban Mesopotamia. Awal mula dikenalnya nama Aljabar adalah ketika al-Khwarizmi menuliskannya di dalam buku karangannya yang berjudul The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing. Kemudian istilah tersebut menyebar setelah karya tersebut diterjemahkan ke berbagai bahasa Eropa oleh muridnya yang bernama Omar Khayyam. Sejak saat itulah perkembangan ilmu aljabar terus dipelajari dan terus disempurnakan sampai pada saat sekarang ini.

Jenis-jenis Aljabar

Secara umum, aljabar dapat dikategorikan menjadi beberapa jenis, setidaknya ada 5 jenis aljabar yang paling umum, yaitu:

Aljabar Dasar

Biasa disebut juga sebagai aljabar elementer yaitu jenis aljabar yang mempelajari sifat-sifat yang terjadi pada operasi bilangan riil yang direkam dalam bentuk simbol untuk menyatakan konstanta serta variabel. Aljabar dasar inilah yang biasa kita temukan pada pelajaran matematika yang ada di sekolah. Aljabar dasar diperuntukkan bagi mereka yang benar-benar belum mengenal aljabar.

Aljabar Abstrak

dikenal sebagai aljabar modern. aljabar abstrak mempelajari struktur aljabar dalam bentuk Ring, Grup, dan Medan (fields) yang kemudian diajarkan serta didefinisikan dengan cara aksiomatis.

Aljabar Linear

Aljabar ini mempelajari sifat-sifat khusus yang terjadi pada ruang vektor. aljabar ini juga mempelajari Matriks.

Aljabar Universal

Mempelajari keseluruhan sifat dari struktur aljabar yang ada.

Unsur-unsur Aljabar

Ada beberapa unsur yang membentuk aljabar, seperti dapat didefinisikan sebagai berikut:

Variabel

Variabel dapat diartikan sebagai lambang atau simbol yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan yang nilainya belum diketahui dengan jelas. Variabel sering juga disebut sebagai peubah. Variabel biasa disimbolkan dengan hruf kecil a, b, c, d, e, f, g, ..., z. Sebagai contoh, pada persamaan (3x + 14 y) variabelnya adalah x dan y.

Suku

Suku merupakan nilai yang menyusun sebuah bentuk aljabar baik berupa variabel dengan koefisiennya dan juga konstanta. Berikut adalah penjelasan macam-macam suku aljabar:

Suku Satu merupakan bentuk aljabar yang tidak memiliki tanda operasi hitung atau selisih.

Contohnya: 2x, 4c², 3xy

Suku Dua merupakan bentuk aljabar yang terhubung oleh adanya satu tanda operasi hitung atau selisih. Contohnya: x + y, 2a + 3c, 4x²- y²

Suku Tiga Merupakan bentuk aljabar yang terhubung oleh adanya dua tanda operasi hitung atau selisih. Contohnya: 3x - 4y + z, 2a² + 3b + c

Konstanta

Konstanta adalah suku aljabar yang bentuknya berupa sebuah bilangan yang bediri sendiri tanpa diikuti variabel. Sebagai contoh pada persamaan (3x2 + 4y - z + 12) maka konstantanya adalah 12.

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Aljabar juga berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear. Kalian bisa menemukan beberapa artikel yang membahas mengenai materi tersebut di dalam blog ini, diantaranya:

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel 

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel 

Perbandingan, Bentuk Desimal Dan Persen

Perbandingan
Pada dasarnya perbandingan merupakan operasi pembagian. Perbandingan antara a dan b, ditulis a : b atau a/b.

Contoh:
Dua buah persegi, masing-masing sisinya adalah x cm dan y cm , maka:
perbandingan sisinya adalah = x : y, sedangkan pada perbandingan luasnya adalah = x2: y2.

Bentuk desimal
Dalam sistem bilangan pecahan bentuk desimal, angka-angka dalam suatu bilangan menempati nilai-nilai tertentu.
Contoh:
764,246 (dibaca: tujuh ratus enam puluh empat koma dua empat enam)
Dimana: 4 bernilai ratusan, 6 bernilai puluhan dan 4 bernilai satuan.
Sedangkan 2 merupakan perseribuan, 4 adalah perseratusan, dan 6 bernilai persepuluhan.

Pecahan desimal dapat dinyatakan sebagai pecahan campuran atau sebaliknya.

Merubah pecahan desimal kedalam bentuk pecahan campuran
Contoh:
2,75 dirubah menjadi pecahan campuran.
Untuk merubah 2,75 kedalam bentuk pecahan campuran, maka yang perlu sahabat perhatikan dan pahami bahwa angka terakhir pada 2,75 adalah 5. Angka 5 tersebut menempati tempat perseratus.
Jadi, 2,75 = 2 75/100

Merubah bentuk desimal kedalam bentuk pecahan a/b
Contoh:
0,032 dirubah menjadi bentuk pecahan a/b

Maka, 0,032 = 32/1000 = 32 : 8/1000 : 8 = 4/125
(FPB dari 32 dan 1000 adalah 8)

Merubah bentuk a/b kedalam bentuk desimal
Contoh:
2/10
Untuk menyelesaikannya maka sahabat harus membuat pecahan tersebut menjadi 10, 100, 1000 dan seterusnya.
2/10 =  2 x 10/10x10 = 20/100 = 0,2

Persen 
Menyatakan bilangan pecahan a/b kedalam persen
Contoh:
2/4 = 2/4 x 100% = 200/4 = 50

Menyatakan bilangan pecahan campuran dalam bentuk persen kedalam pecahan biasa
Contoh:
12 1/2 % = 25/2 % = 25/2 : 100 = 25/2 x 1/100 = 25/100 = 1/8

Bilangan Bulat dan Bilangan Pecahan

- Bilangan Bulat

Bilangan bulat termasuk bilangan rasional yang merupakan bagian dari bilangan real, dan juga bilangan bulat terdiri dari:

1. Bilangan bulat negatif = {...,–5,–4,–3,–2,–1}
2. Bilangan nol = {0}
3. Bilangan asli atau bilangan bulat positif = {1,2,3,4,5,...}. Bilangan asli terbagi menjadi:
1. Bilangan ganjil = {1,3,5,7,...}
2. Bilangan genap = {2,4,6,8,...}

Bilangan bulat dapat dibagi menggunakan Garis Bilangan

1. Mengurutkan Bilangan Bulat

Mengurutkan beberapa bilangan bulat, yaitu menuliskan bilangan bulat tersebut secara urut dari yang nilainya terbesar atau terkecil. Pada garis bilangan, semakin ke kanan letak suatu bilangan, nilainya semakin besar. Sebaliknya, semakin ke kiri, nilainya semakin kecil.

2. Membandingkan Bilangan Bulat

Lambang-lambang untuk membandingkan dua bilangan bulat sebagai berikut:

• 2 lebih dari 1, ditulis 2 > 1
• 1 kurang dari 2, ditulis 1 < 2
• 2 lebih dari atau sama dengan 1, ditulis 2 ≥ 1
• 1 kurang dari atau sama dengan 2, ditulis 1 ≤ 2

Bilangan positif selalu lebih besar dari bilangan negatif

3. Lawan (Invers) Suatu Bilangan Bulat

Lawan bilangan 1 adalah –1. Sebaliknya, lawan –1 adalah 1.

Contoh:

• lawan 5 adalah –5
• Invers dari –3 adalah 3

Operasi Hitung Bilangan Bulat

Operasi hitung penjumlahan pada bilangan bulat dapat menggunakan alat bantu berupa :

1. Mistar hitung
   Mistar hitung adalah alat bantu untuk menghitung penjumlahan pada bilangan bulat yang dapat dibuat sendiri dari kertas karton. Mistar hitung yang akan digunakan terdiri dari dua buah mistar dengan skala yang sama dan terdiri dari bilangan bulat, yaitu bilangan bulat negatif, nol dan bilangan bulat positif.

2. Garis Bilangan
   Sebuah garis bilangan dapat digunakan untuk membantu penjumlahan pada bilangan bulat.

Jika suatu bilangan dijumlah dengan bilangan bulat positif, maka arah panah ke kanan dan jika dijumlah dengan bilangan bulat negatif, maka arah panah ke kiri.

Contoh :
a. 3 + 4 = 7          b. 3 + (-8) = -5

Penjumlahan bilangan bulat

Pada himpunan bilangan Bulat terdapat pasangan-pasangan bilangan bulat positif dan bulat negatif.

• 5 berpasangan dengan –5, maka 5 lawan dari –5
• – 3 berpasangan dengan 3, maka –3 lawan dari 3

Sehingga :

• Lawan (invers jumlah) dari a adalah –a
• Lawan (invers jumlah) dari –a adalah a

Pengurangan suatu bilangan merupakan penjumlahan bilangan itu dengan lawan pengurangnya.

Contoh :

1. Dengan menggunakan invers jumlah, tentukan hasil pengurangan bilangan-bilangan berikut :
   • 4 – 6 = ………
   • 8 – (- 2) = ………
   • – 5 – (- 5) = ………..
   • – 3 – 5 = …………….
   Jawab :
   • 4 – 6 = 4 + (-6) = -2
   • 8 – (-2) = 8 + 2 = 10
   • -5 – (-5) = -5 + 5 =0
   • –3 – 5 = -3 + (-5) = – 8
2. Tanpa menggunakan invers jumlah, tentukan hasil pengurangan bilangan-bilangan berikut :

• –6 – (-5) = ………….
• –9 – 4 = ………….
• 12 – (-20) = ……….
• –34 – (–22) = ……

Jawab :

• –6 – (-5) = -1
• –9 – 4 = -13
• 12 – (–20) = 32
• –34 – (–22) = -10

Perkalian bilangan bulat

Arti perkalian

2 x 3 = 3 + 3
= 6

4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5

         = 20

1.  Perkalian bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif

• 3 x (-6) = -6 + (-6) + (-6)

= -18

• 4 x (-12) = -12 + (-12) + (-12) + (-12)

= -48

2. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif

3. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif

1. Contoh :
   Tentukan hasil perkalian bilangan-bilangan :

1. 12 x (- 3) = …………..
2. 16 x (- 4) = …………..
3. – 5 x 13 = …………..
4. 16 x (- 7) = …………..

Jawab :

Tentukan hasil perkalian bilangan-bilangan :

1. 12 x (- 3) = – ( 12 x 3 ) = – 36
2. 16 x (- 4) = – ( 16 x 4 ) = – 64
3. – 5 x 13 = – ( 5 x 13 ) = – 65
4. – 16 x (- 7) = 16 x 7 = 112

 Pembagian pada bilangan bulat

Arti pembagian. 

Operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian

• 18 : 3 = 6         6 x 3 = 18
• 36 : 4 = 9         9 x 4 = 36

1. Pembagian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif
   • – 18 : 6 = – 3             – 3 x 6 = – 18
   • – 32 : 4 = – 8             – 8 x 4 = – 32
   • – 45 : 9 = – 5             – 5 x 9 = – 45

2. Pembagian bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif
   • 18 : (- 3) = – 6             – 6 x (- 3) = 18
   • 36 : (- 4) = – 9              – 8 x 4 = – 32
   • 24 : (- 6) = – 4             – 4 x (- 6) = 24
   

3. Pembagian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif
   • – 18 : (- 3) = 6             6 x (- 3) = -18
   • – 42 : (- 6) = 7             7 x (- 6) = – 42
   • – 72 : (- 8) = 9             9 x (- 8) = – 72

   

1. Contoh :
   Hitunglah :

1. 12 : (- 3) = …
2. 16 : (- 4) = …
3. – 45 : 3 = …
4. – 63 : (- 7) = …

Jawab :

1. 12 : (- 3) = – ( 12 : 3 ) = – 4
2. 16 : (- 4) = – ( 16 : 4 ) = – 4
3. – 45 : 3 = – ( 45 : 3 ) = – 15
4. – 63 : (- 7) = 63 : 7 = 9

2. Contoh :
   Jika p = – 48 dan q = 2, tentukanlah nilai dari :

1. 2p : 3q
2. (p : 3) : q

Jawab :

1. 2p : q = (2 x (- 28)) : 2

                            = – 56 : 2

= – 28

2. (p : 3 ) : q = (- 48 : 3) : 2

                            = – 16 : 2

= – 8

- Bilangan Pecahan

Pengertian 

Pecahan dapat kita artikan sebagai bagian dari keseluruhan. Dalam ilmu matematika, pacahan adalah bentuk bilangan yang disajikan dalam bentuk a/b, dengan a, b merupakan bilangan bulat dan a bukan kelipatan dari b, serta b ≠ 0. Dalam pecahan juga kita mengenal pembilang dan penyebut, a/b, dimana a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut.

Jenis-jenis pecahan
- Pecahan biasa, contohnya 1/2, -12/24, 5/7
- pecahan campuran, contohnya 2 4/9, 2 1/2
- pecahan desimal, contohnya 0,02; 2,50
- persen, contohnya 5%, 25%, 2 4/5%
- permil, contohnya 5‰, 14‰, 25‰

Pecahan senilai merupakan bentuk pecahan yang nilainya sama, walaupun pembilang dan penyebutnya berbeda. Pecahan senilai dapat kita peroleh dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama.

Cara menyederhanakan pecahan
Suatu bentu pecahan dapat kita sederhanakan dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari pembilang dan penyebut pecahan tersebut.

Cara membandingkan dua pecahan
Untuk menegatahui hubungan antara dua pecahan, yang sahabat lakukan adalah dengan terlebih daulu menyamakan penyebutnya dengan cara mencari kelipatan perseketuan terkecil (KPK) dari kedua penyebut pecahan tersebut.

Pecahan campuran
Pecahan campuran merupakan bentuk pecahan yang dapat diubah menjadi bilangan yang terdiri dari bilanagn bulat dan bilangan pecahan itu sendiri. Pecahn campuran juga dapat diubah menjadi pecahan biasa, caranya:
a b/c = (a x c) + b/c

Untuk lebih jelasnya, sahabat bisa mempelajari contoh-contoh di bawah ini:
Menenuntukan pecahan senilai.
3/4 = 3 x 2/4 x 2 = 6/8 atau 3 x 5/4 x 5 = 15/20, jadi 3/4 = 6/8 = 15/20
32/40 = 32 : 2/40 : 2 = 16/20 atau 32 : 4/40 : 4 = 8/10, jadi 32/40 = 16/20 = 8/10

1. Pembulatan Pecahan

Perhatikan aturan pembulatan pecahan desimal berikut ini.

a. Apabila angka yang akan dibulatkan lebih besar atau sama 

dengan 5, maka dibulatkan ke atas (angka di depannya atau di 

sebelah kirinya ditambah dengan 1).

b. Apabila angka yang akan dibulatkan kurang dari 5, maka angka 

tersebut dihilangkan dan angka di depannya (di sebelah kirinya) 

tetap.

Contoh

Bulatkan pecahan desimal berikut sampai dua tempat desimal.

a. 0,7921

b. 6,326

c. 1,739

Penyelesaian

a. 0,7921 = 0,79 (angka 2 < 5 dihilangkan)

b. 6,326 = 6,33 (angka 6 > 5, maka angka 2 dibulatkan ke atas)

c. 1,739 = 1,74 (angka 9 > 5, maka angka 3 dibulatkan ke atas)

Untuk menghindari kesalahan dalam pembulatan, jangan 

membulatkan bilangan dari hasil pembulatan sebelumnya.

Perhatikan contoh berikut.

3,63471 = 3,635 (benar, pembulatan sampai 3 tempat desimal)

= 3,64 (salah, seharusnya pembulatan dilakukan dari bilangan semula)

3,63471 = 3,63 (pembulatan sampai 2 tempat desimal)

2. Menaksir Hasil Operasi Hitung Pecahan

Kita telah mempelajari cara menaksir hasil perkalian dan 

pembagian pada bilangan bulat. Hal tersebut juga berlaku untuk 

menaksir hasil perkalian dan pembagian pada bilangan desimal.

Perhatikan contoh berikut.

Taksirlah hasil operasi pada bilangan pecahan berikut.

a. 3,23 x 2,61

b. 15,20 x 3,14

c. 83,76 : 12,33

d. 311,95 : 26,41

Penyelesaian

a. 3,23 x 2,61 ≈ 3 x 3 = 9

b. 15,20 x 3,14 ≈ 15 x 3 = 45

c. 83,76 : 12,33 ≈ 84 : 12 = 7

d. 311,95 : 26,41 ≈ 312 : 26 = 12

3. Bentuk Baku Pecahan

Dalam bidang ilmu pengetahuan alam, sering kali kalian 

menemukan bilangan-bilangan yang bernilai sangat besar maupun 

sangat kecil. Hal ini terkadang membuat kalian mengalami 

kesulitan dalam membaca ataupun menulisnya.

Misalnya sebagai berikut.

a. Panjang jari-jari neutron kira-kira 0,000 000 000 000 00137 m.

b. Jumlah molekul dalam 18 gram air adalah 602.000.000.000.000.000.000.000.

Untuk mengatasi kesulitan tersebut, ada cara yang lebih singkat dan 

lebih mudah, yaitu dengan menggunakan notasi ilmiah yang sering 

disebut penulisan bentuk baku. Dalam penulisan bentuk baku, 

digunakan aturan-aturan seperti pada perpangkatan bilangan. 

Perhatikan perpangkatan pada bilangan pokok 10 berikut ini.

10¹ = 10

10² = 10 x 10 = 100

 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000

 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1.000.000

 = 1

dan seterusnya.

Jika dituliskan dalam bentuk baku maka diperoleh

a. panjang jari-jari neutron = 0,000 000 000 000 00137 m = 1,37 x  m;

b. jumlah molekul dalam 18 gram air = 

602.000.000.000.000.000.000.000 = 6,02 x .

Secara umum, ada dua aturan penulisan bentuk baku suatu 

bilangan, yaitu bilangan antara 0 sampai dengan 1 dan bilangan 

yang lebih dari 10 sebagai berikut.

Bentuk baku bilangan lebih dari 10 dinyatakan dengan a x  

dengan 1 ≤ a < 10 dan nbilangan asli. Bentuk baku bilangan antara 

0 sampai dengan 1 dinyatakan dengan a x dengan 1 ≤ a < 

10 dan n bilangan asli.

Contoh

1. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk baku.

a. 635.000

b. 258.637.000

Penyelesaian:

a. 635.000 = 6,35 x 

b. 258.637.000 = 2,58637 x  = 2,59 x  (pembulatan sampai 2 tempat desimal)